行列の積
2行2列の行列 A と B を次のように定める。A の1行目は (1, 2)、2行目は (3, 4)。B の1行目は (2, 0)、2行目は (1, 3)。積 AB として正しいものを1つ選べ。
- A
1行目 (2, 4)、2行目 (10, 14)
- B
1行目 (4, 6)、2行目 (10, 12)
- C
1行目 (2, 0)、2行目 (3, 12)
- D
1行目 (4, 10)、2行目 (6, 12)
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正解：B
行列の積 AB の i 行 j 列の成分は「A の i 行目と B の j 列目の内積」で、1行1列なら 1×2 + 2×1 = 4 のように求め、AB は1行目 (4, 6)、2行目 (10, 12) になる。成分ごとの掛け算や、順番を逆にした BA と取り違えやすい。
| 計算 | 結果 |
|---|---|
| AB の1行1列 | 1×2 + 2×1 = 4 |
| AB の1行2列 | 1×0 + 2×3 = 6 |
| AB の2行1列 | 3×2 + 4×1 = 10 |
| AB の2行2列 | 3×0 + 4×3 = 12 |
- A
誤り。掛ける順を逆にした BA の結果。行列の積は、順番を入れ替えると一般に結果が変わる。
- B
正しい。AB の i 行 j 列の成分は、A の i 行目と B の j 列目の内積。1行1列は 1×2 + 2×1 = 4、1行2列は 1×0 + 2×3 = 6、2行1列は 3×2 + 4×1 = 10、2行2列は 3×0 + 4×3 = 12。
- C
誤り。同じ位置の成分どうしを掛けただけで、行列の積ではない。
- D
誤り。AB の行と列を入れ替えた(転置した)形になっている。
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