2つの組を合わせた平均と分散
A組 20人の得点は平均 60点・分散 25、B組 30人の得点は平均 70点・分散 16 であった(分散はいずれも人数で割ったもの)。2つの組を合わせた 50人の得点の平均と分散(人数で割ったもの)の組として、正しいものを1つ選べ。
- A
平均 65、分散 20.5
- B
平均 66、分散 43.6
- C
平均 66、分散 19.6
- D
平均 66、分散 41
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正解：B
合併した分散 = 組内の分散の加重平均 + 組の平均の散らばり(組間)。ここでは 19.6 + 24 = 43.6。または「2乗の平均 − 平均の2乗」で求める。
| 手順 | 計算 |
|---|---|
| 全体の平均 | (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 66 |
| A組の2乗の平均 | 25 + 60² = 3625 |
| B組の2乗の平均 | 16 + 70² = 4916 |
| 全体の2乗の平均 | (20 × 3625 + 30 × 4916) ÷ 50 = 4399.6 |
| 全体の分散 | 4399.6 − 66² = 43.6 |
- A
誤り。人数の違いを考えず、平均も分散も2つの組の単純平均にしている。
- B
正しい。平均 = (20 × 60 + 30 × 70) ÷ 50 = 66。2乗の平均は A組 25 + 60² = 3625、B組 16 + 70² = 4916 で、全体は (20 × 3625 + 30 × 4916) ÷ 50 = 4399.6。分散 = 4399.6 − 66² = 43.6。
- C
誤り。組内の分散の加重平均 (20 × 25 + 30 × 16) ÷ 50 だけで、組の平均の違い(組間の散らばり 24)を足していない。
- D
誤り。2つの組の分散 25 と 16 をそのまま足している。
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