中心極限定理による合計の近似
1回のゲームの得点 X は、平均 3、分散 4 の分布に従う(正規分布ではない)。このゲームを独立に 64回行ったときの合計得点 S が 208 以上となる確率を、中心極限定理による正規近似(連続修正は行わない)で求めたときに最も近いものを1つ選べ。ただし、標準正規分布 Z について P(Z ≦ 0.5) = 0.691、P(Z ≦ 1) = 0.841 とする。
- A
0.159
- B
0.309
- C
0.841
- D
X が正規分布に従わないので、正規分布では近似できない。
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正解：A
独立で同じ分布(平均 μ、分散 σ²)に従う n 個の和は、n が大きいとき平均 nμ、分散 nσ² の正規分布で近似できる(中心極限定理)。
| 手順 | 計算 |
|---|---|
| 合計の平均 | 64 × 3 = 192 |
| 合計の標準偏差 | √(64 × 4) = 16 |
| z | (208 − 192) ÷ 16 = 1 |
| 確率 | 1 − 0.841 = 0.159 |
- A
正しい。S の平均 = 64 × 3 = 192、分散 = 64 × 4 = 256、標準偏差 16。z = (208 − 192) ÷ 16 = 1 で、1 − 0.841 = 0.159。
- B
誤り。分散 4 を標準偏差のように使い、S の標準偏差を 4 × √64 = 32 として z = 0.5 にしている。
- C
誤り。P(S ≦ 208) にあたる下側の確率である。
- D
誤り。中心極限定理により、独立で同じ分布に従う多数の和や平均は、元の分布によらず近似的に正規分布に従う。
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