二項分布の正規近似
成功確率 0.2 の試行を独立に 100 回行うとき、成功回数 X は二項分布 B(100, 0.2) に従う。連続修正を行わない正規近似を用いて P(X ≧ 28) に最も近い値を選べ。ただし、標準正規分布 Z について P(Z ≦ 0.5) = 0.691、P(Z ≦ 1) = 0.841、P(Z ≦ 2) = 0.977 とする。
- A
0.309
- B
0.977
- C
0.691
- D
0.023
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正解：D
二項分布 B(n, p) は、n が大きいとき、平均 np、分散 np(1 − p) の正規分布で近似できる。
| 手順 | 計算 |
|---|---|
| 平均 | 100 × 0.2 = 20 |
| 標準偏差 | √(100 × 0.2 × 0.8) = 4 |
| z | (28 − 20) ÷ 4 = 2 |
| 確率 | 1 − 0.977 = 0.023 |
- A
誤り。分散 16 を標準偏差として z = 0.5 とした場合の値。
- B
誤り。これは P(X ≦ 28) にあたる下側確率。
- C
誤り。分散 16 を標準偏差とした z = 0.5 の下側確率 P(Z ≦ 0.5) をそのまま答えている。
- D
正しい。平均 = 100 × 0.2 = 20、分散 = 100 × 0.2 × 0.8 = 16、標準偏差 = 4。z = (28 − 20) ÷ 4 = 2 なので、P(Z ≧ 2) = 1 − 0.977 = 0.023。
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